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0．引（yǐn）言
齒輪（lún）在工業生產生活中應用極（jí）為廣泛，隨（suí）著現代工（gōng）業和科（kē）學技術的快速發展進步，齒輪震動，效率壽命等指標越來越受到重（chóng）視，對齒輪的精度要求越來越高（gāo）。齒輪測量過程中，測量儀器回轉工作台的回轉軸線與齒輪的幾何中（zhōng）心很（hěn）難重（chóng）合[1~4]，這樣就產生了（le）安裝偏心，導（dǎo）致齒輪的測量基準與齒輪製造基準或者齒輪使用基準的不一致，測量結（jié）果中帶有由於工件（jiàn）安裝不（bú）準確帶來的安（ān）裝誤差，從而（ér）不能準確反應齒輪加工精度，所以正確采用誤差補償的方法消除（chú）安裝偏心產生的齒形偏差具有重要意義。
齒輪測量中（zhōng）心上的齒（chǐ）輪安裝誤差包括齒輪軸線相對於轉台軸線（xiàn）的平移誤差和傾斜誤差。其中（zhōng），一般齒輪軸（zhóu）線的平移（yí）誤差（chà）稱為偏心，齒輪軸線的傾斜誤差（chà）稱為偏擺。為了保證測量結果的精度需要（yào）消除由安裝引入（rù）的這兩項（xiàng）誤差帶來的誤差成分。研（yán）究解決這一難題（tí）有助於提升儀器的測量精度，進而提升國內的齒輪測（cè）量中心的國際競爭力。針對齒輪安裝誤差中某（mǒu）些特（tè）定（dìng）齒輪測量項的修正問題，不少文（wén）章（zhāng）提出了不同的解決辦法或模型，但未見在齒輪測量中（zhōng）心（xīn）上得到很好的應（yīng）用。本文依據（jù）坐標（biāo）變換原理提出了齒輪偏心（xīn）測量模型，很好的解決了齒輪在偏心情況下的齒形測（cè）量問題（tí）。隨著研究的深入，齒輪測量模型還可擴展到齒距、齒向測量誤差修正過程（chéng）中，可完全（quán）解決齒輪在測量過（guò）程中的安裝誤差問題。
1．補償安裝偏心的（de）基本原理
齒輪測量中心在測量齒形過程中可以（yǐ）選擇多種測量方法對齒（chǐ）輪進行測（cè）量，而（ér）法向極坐標測量（liàng）法因其測量聯動軸數少及控製方式簡單的優點應用範圍（wéi）最廣。法向極坐標測量法如圖1-1所示，該方法是（shì）根據齒輪齒廓的展成（chéng）原理，規定漸開（kāi）線的展（zhǎn）長方向為測（cè）量方向，將（jiāng）其轉化為展長長度測量。由漸開線的形成原理可以（yǐ）知道，漸開線的法向極坐標方程為：
式中：L為被測點的展開（kāi）長度 
；為基圓半徑 
；為被測點對應的展（zhǎn）開角。
圖1-1 法向極坐標測量齒形
由於齒輪存在加工誤差，在（zài）用法向極坐標法測量時，測頭（tóu）一直保（bǎo）持隨基（jī）圓的（de）切向X軸（zhóu）方向做直線運動，如圖1-1所示。但實際測量時（shí）測球會隨著齒（chǐ）麵誤差相對擺動，實際被（bèi）測點測量展長（zhǎng）與理論展長差值即為齒麵偏（piān）差（chà）。
齒輪（lún）測量是一個動態測量過程，即齒輪繞回轉中心O旋轉，測頭沿切向X軸直線運動。由（yóu）於安裝偏心，齒輪的幾何中心與回轉中心O不重合如圖1-2（a）所示，直接引起被（bèi）測點基圓半徑的變（biàn）化如（rú）圖1-2（b）所示，由公（gōng）式(1)可知，實（shí）際測量（liàng）展長（zhǎng）隨著基（jī）圓半徑的變化而變化，展長與展角不再是線性關（guān）係。但在實際測量過程中，測量動作保持不變，既而由（yóu）測頭讀數直接計算齒麵誤差，所得結果包含了安裝偏心引（yǐn）起的測量（liàng）誤差，使得測量結果不夠準確。如圖1-2（b）所示，在沒有安裝偏（piān）心的情況（kuàng）下，被測點為（wéi）A，安裝偏心後測量點為 
，由於受到安裝偏心的影響，所有測量點都發生改變。
首先利用二維坐標變換原理，將實際坐標（biāo）點回歸到在靜止狀態（tài）下齒輪漸（jiàn）開線的坐標位置,既而得到漸開線上所有被測點坐標。安裝偏心補償（cháng）為事（shì）後補（bǔ）償，即已知齒（chǐ）輪水平偏心和偏擺，平（píng）移漸開線上所有（yǒu）被（bèi）測點坐（zuò）標消除水平偏心帶來的影響，然後在已知偏（piān）擺的情況下，利（lì）用三（sān）維坐標變換原理，去除水平偏心的所有（yǒu）被測點坐（zuò）標進行兩（liǎng）次坐標（biāo）轉換，進一步得到去除偏擺的所有被測點坐標。以起測點為參考點，即齒麵誤差為零，利用幾何關係式求解以起測點為準的理論（lùn）漸開線上（shàng）對（duì）應的被（bèi）測點坐標，既（jì）而分別求出被測點理論展長與（yǔ）實際（jì）展長（zhǎng），二者之差即為（wéi）實際齒麵加工誤差。
圖1-2 齒輪安裝偏心數學模型
2. 安裝偏心（xīn）齒輪測量理論數學模型的建立
在（zài）測量過程中，轉台帶動齒輪旋轉（zhuǎn），同時齒輪測量（liàng）中心控製測杆在X軸方向移動一定距離（lí），獲取工（gōng）件在測量儀器坐（zuò）標係下所有被測點的相對轉角（jiǎo）值（zhí） 
以及坐標點位（wèi）置（zhì） 
，通過二維坐標變（biàn）換原理，將齒輪在動態測量過程所有被測點坐標還原到齒輪靜止狀態下的坐標位置 
，方程表達式如下：
式中： 
為轉（zhuǎn）台旋轉角（jiǎo）度（順時針方向為正）。
由於齒（chǐ）輪存在加工誤差，所得坐標點（diǎn）並非齒輪漸開線理論軌跡坐標點，所以需要通過實（shí）際被測點坐標建立直角坐標係下理論漸開線數學方（fāng）程，如圖2-1所示，令起測點 
為參考點建立（lì）理論漸開線，記此點齒麵誤差為零，利（lì）用圓外一點的切線方（fāng）程求得（dé）切點坐標 
，則起測點 
的展長可由起測點 
和切點 
得到（dào），即：
進一步求（qiú）得展（zhǎn）角為
然後由幾何關係求得漸開線起始點（diǎn）坐標 
，漸（jiàn）開線起點和切點坐（zuò）標確定後，利用餘弦定理求得起測點 
展角為：
則理論展長表達式如下：
實際展長表達式如下：
最終齒麵誤差為 
。
圖2-1 理論漸（jiàn）開線數學模型
同理求得齒麵所有被測點齒麵誤差。
3.安裝偏心誤差修正
3.1水平偏心修正
偏心修正為（wéi）事後補償，即在已知齒輪測量截麵偏心（xīn）平移向量
前提下利用偏心修正數（shù）學模型去掉安（ān）裝偏心帶來的測量（liàng）誤差成分，表（biǎo）達式如下（xià）：
3.2偏（piān）擺誤差修正
和
，可以求得（dé）空間直線矢量的方向餘弦
，其中
，利用三維坐標變換原理，將此空間直線做兩次旋轉即可保證與回轉軸線重合，可得當（dāng）前被測點實際坐標公（gōng）式：
然後將去掉水平偏（piān）心和偏擺後的（de）坐標位置代（dài）入（rù）上述表（biǎo）達式中，最終求得實際齒麵誤差為：
4.測量實驗
測量實驗采用（yòng）模數為2.7459，齒數為（wéi）24的標準漸開（kāi）線圓柱齒輪，齒（chǐ）輪的（de）齒（chǐ）形測量一般隻需測量四個近似等分點上的齒輪，以這四個齒輪的齒形誤差代替整個齒輪的齒形誤差。為了做對比實驗，本文選用了一上（shàng）下頂尖定位的標準斜齒，實驗前（qián）先（xiān）在齒輪上的一齒上（shàng）做標記，以保證接下來的幾次測（cè）量都是（shì）測量（liàng）同樣的齒麵。第一次測量時通過上下頂尖安（ān）裝齒輪，可認為齒輪無安裝誤（wù）差（chà），測得齒形結果如圖4-1所示，第二（èr）次測量人工製造安裝偏心誤差，測得齒形結果如圖（tú）4-2所示，第三次測量通過偏心修正算法測量齒輪（lún）齒形，測得齒形結果如圖4-3所示。對同一齒輪同一齒麵三次測量測量結果對比，結果如表1所示。
重複測量5次（cì），測量各項誤差結果保證在±1μm以內，可以實現（xiàn）偏心修正功能，並且測量結果穩定，精度（dù）和準確度很高。
5.總（zǒng）結
本文提出了一種新穎的偏（piān）心修正補償的測量（liàng）方法，有效的解決了（le）安裝偏心降低（dī）齒輪（lún）測量結果精度的難題，保證了齒輪測量結果的準確度和精度。經過實際（jì）測試（shì）表明，該測量方法正確可行，測量結果穩定、準確。
參考文獻：
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